اعداد گویا چه اعدادی هستند ؟

اعداد حقیقی شامل تمامی اعداد ممکن هستند. بخشی از این اعداد را می‌توان به شکل یک کسر یا حاصل تقسیم دو عدد صحیح نمایش داد. اعداد صحیح نیز زیرمجموعه‌ای از اعداد حقیقی هستند، مانند عدد 43 که فاقد بخش اعشاری است. به این نوع از اعداد حقیقی، اعداد گویا می‌گویند. در زبان انگلیسی، به اعداد گویا "Rational Numbers" گفته می‌شود که از کلمه "Ratio" به معنی نسبت برگرفته شده است.

خصوصیات و ویژگی‌ های اعداد گویا

قابلیت نمایش به صورت کسر : هر عدد گویایی را می‌ توان به شکل کسر نوشت. برای مثال، عدد هفت را می‌ توان به صورت  1/ 7 ​ نوشت. به همین ترتیب، عددی مانند 0.75 نیز یک عدد گویاست چون می‌توان آن را به صورت 4 3 ​ نوشت.

تکرار یا پایان پذیری اعداد اعشاری گویا : اگر یک عدد اعشاری یک دنباله تکراری داشته باشد یا به یک نقطه پایان برسد، آن عدد گویا می باشد.

به عنوان مثال : عدد 0.3333 … که تکرار می‌ شود، معادل 3 /1 ​ است. عدد 0.5 که پایان‌ پذیر است، معادل 2 / 1 ​ می باشد.

ارتباط با اعداد صحیح : هر عدد صحیح، خود یک عدد گویاست چون می‌ توان آن را با مخرج یک نمایش داد.

به عنوان مثال : عدد 4 می‌ تواند به صورت 1/ 4 ​ نوشته شود.

جمع، تفریق، ضرب، و تقسیم : عملیات جبری مانند جمع، تفریق، ضرب و تقسیم (به جز تقسیم بر صفر) در میان اعداد گویا باعث تولید عددی گویا می‌ شود. به عبارت دیگر، مجموعه اعداد گویا نسبت به این عملیات‌ ها بسته است.

مثال برای ضرب و تقسیم اعداد گویا:

تقابل با اعداد گنگ (Irrational Numbers) : اعداد گویایی وجود دارند که نمی‌توان آن‌ها را به صورت کسر از دو عدد صحیح نوشت. این اعداد به عنوان اعداد گنگ شناخته می‌شوند. به عنوان مثال: عدد  2 ​ یا π اعداد گنگ هستند زیرا نمی‌ توانند به صورت یک کسر نوشته شوند.

نمایش در محور اعداد : اعداد گویا روی محور اعداد به صورت نقاطی جدا از هم قرار می‌ گیرند، در حالی که اعداد گنگ نمی‌ توانند بین این نقاط قرار گیرند.

مفهوم اعداد حقیقی

این مفهوم به همراه بسیاری از نکات مهم کتاب ریاضی پایه هشتم، در مطلب «فرمول‌‌ های ریاضی هشتم» خلاصه شدند. اعداد حقیقی مجموعه‌ ای از تمام اعداد را در بر می‌ گیرند. دسته‌ ای از این اعداد را می‌ توان به صورت یک کسر و حاصل تقسیم دو عدد صحیح (اعداد صحیح دسته‌ ای از اعداد حقیقی مانند عدد 43 را شامل می‌ شوند که قسمت اعشاری ندارد) بر یکدیگر بیان کرد. به این دسته از اعداد حقیقی، اعداد گویا گفته می‌ شود. اعداد گویا در زبان انگلیسی با نام Rational Numbers معرفی می‌ شوند و این نام از ریشه Ratio به معنای نسبت، گرفته شده است.

مثال‌ ها:

در ادامه چندین نمونه از اعداد گویا به همراه مثال‌ هایی آورده شده است که به فهم بهتر این اعداد و شناخت انواع مختلف آنها کمک می‌ کند.

مثال 1 : عدد  2 / 1 ​ را در نظر بگیرید. این عدد یک عدد گویا است؛ زیرا به صورت حاصل تقسیم عدد یک بر عدد دو نوشته شده است.

مثال 2 : عدد 0.75 نیز یکی از اعداد گویا در نظر گرفته می‌ شود. زیرا می‌ توان آن را به صورت یک کسر به شکل 3/4​ بیان کرد.

مثال 3 : عدد 1 علاوه بر اینکه یک عدد صحیح و طبیعی است، به عنوان یک عدد گویا نیز در نظر گرفته می‌ شود. دلیل این امر این است که می‌ توان این عدد را به صورت کسری به شکل 1/1​ نمایش داد.

مثال 4 : مشابه مثال بالا، می‌توان نشان داد که عدد 2 نیز یک عدد گویا است و می‌ توان آن را به شکل یک کسر 2/1​ بیان کرد.

مثال 5 : عدد 2.12 را در نظر بگیرید. این عدد را می‌توان به شکل یک کسر برابر با 212/100​ نیز بیان کرد. بنابراین می‌ توان 2.12 را یک عدد گویا در نظر گرفت.

مثال 6 : اعدادی که مانند مثال قبلی دارای قسمت اعشاری هستند، اغلب می‌ توانند به صورت یک کسر نمایش داده شوند، و هر عددی که به این صورت قابل نمایش باشد، یک عدد گویا محسوب می‌ شود. به عنوان مثال، عدد 6.6- را در نظر بگیرید. این عدد را می‌توان به صورت 66/10-​ نشان داد. بنابراین، 6.6- یک عدد گویا است.

دوره های ریاضی هشتم شامل مباحث اعداد گویا -ثبت نام کنید

قرینه اعداد گویا

قرینه یک عدد گویا، عددی است که وقتی با آن عدد جمع شود، حاصل جمع صفر شود. به بیان دیگر، قرینه یک عدد گویای p/q​ عددی است که علامت صورت آن تغییر می‌ کند، یعنی p-/q

به عنوان مثال:

• قرینه عدد3/4​ برابر است با 4/-3
• قرینه عدد −7/5​ برابر است با 7/5
• قرینه عدد 222 (که می‌ توان آن را به صورت $\frac{n}{1}$​ نوشت) برابر است با −2 یا 1/-2

بنابراین، برای یافتن قرینه یک عدد گویا، کافی است که علامت صورت آن را تغییر دهید.

اعداد گنگ

توجه شود که دسته‌ ای دیگر از اعداد حقیقی موجود هستند که نمی‌ توان آن‌ ها را به صورت یک کسر نمایش داد.

این اعداد را اعداد گنگ می‌ نامند. برای مثال عدد π را در نظر بگیرید. قسمت اعشاری این عدد را می‌ توان به شکل زیر تا بی نهایت نمایش داد.

بنابراین عدد π را نمی‌ توان به صورت یک کسر نمایش داد و آن را یک عدد گنگ می‌ نامند. به عنوان یک مثال دیگر از اعداد گنگ، می‌ توان به جذر‌هایی که مقدار مشخصی ندارند اشاره کرد. برای مثال، حالت زیر را در نظر بگیرید.

قسمت اعشاری این عدد نیز تا بینهایت ادامه دارد. بنابراین یک عدد گنگ نامیده می‌ شود و در دسته‌ بندی اعداد گویا قرار نمی‌ گیرد. به صورت کلی می توان دسته‌ بندی کلی زیر را برای اعداد حقیقی در نظر گرفت.

R اعداد حقیقی را نشان می‌ دهد ، Q بخشی از اعداد حقیقی است که نشان دهنده اعداد گویا است. Z و N نیز به ترتیب اعداد صحیح و اعداد طبیعی در نظر گرفته می‌ شوند. نکته مهمی که باید به آن توجه کرد این است که بین هر دو عدد گویا یک عدد گویا دیگر نیز وجود دارد. دلیل این موضوع این است که میانگین دو عدد گویا نیز یک عدد گویا است. توجه شود که اعداد مختلط نیز دسته‌ای از اعداد هستند که از دو بخش تشکیل می‌ شوند. قسمت اول شامل یک عدد حقیقی است و بخش حقیقی نامیده می‌ شود و قسمت دوم نیز بخش موهومی نام دارد.

دوره های ریاضی هشتم شامل مباحث اعداد گویا -ثبت نام کنید

تصویرسازی ارتباط میان مجموعه‌های عددی

ما معمولاً با مجموعه‌هایی مانند اعداد صحیح و اعداد گویا آشنا هستیم. برای اینکه بتوانیم این مجموعه‌ها را بهتر به یاد بسپاریم و درک بهتری از ارتباطات آن‌ها داشته باشیم، نمودار زیر می‌تواند کمک شایانی به ما کند. نگران مجموعه‌هایی که هنوز با آن‌ها آشنا نشده‌اید، نباشید؛ در ادامه به آن‌ها خواهیم پرداخت.

این نمودار نمایش می‌دهد که مجموعه اعداد حقیقی شامل مجموعه‌های اعداد گویا و اعداد گنگ است. به علاوه، اعداد طبیعی زیرمجموعه اعداد حسابی بوده و این اعداد نیز زیرمجموعه اعداد صحیح هستند. مجموعه اعداد صحیح نیز زیرمجموعه اعداد گویا به حساب می‌آید.

بر اساس این روابط، می‌توان گفت که هر عدد صحیح در واقع یک عدد گویا نیز هست، و هر عدد طبیعی به نوعی عدد صحیح نیز محسوب می‌شود.

مثال 2: نشان دهید مجموعه اعداد صحیح، زیرمجموعه اعداد گویاست.

سؤال را به این شکل می‌توان مطرح کرد: ثابت کنید که هر عدد صحیح نیز یک عدد گویا است، به عبارت دیگر، باید قادر باشیم هر عدد صحیح را به فرم یک عدد گویا، یعنی به صورت کسر $\frac{a}{b}$ (که $b$ صفر نباشد) بنویسیم.

سوالی که در اینجا مطرح است این است: چه عددی وجود دارد که با تقسیم هر عدد به آن، نتیجه تقسیم تغییر نکند؟ بله، عدد 1. بنابراین، می‌توانیم هر عدد صحیح $a$ را به صورت $\frac{a}{1}$ نمایش دهیم؛ به عنوان مثال، عدد -4 را می‌توان به صورت $\frac{-4}{1}$ نوشت. بنابراین، هر عدد صحیح، یک عدد گویا نیز محسوب می‌شود و به این ترتیب، مجموعه اعداد صحیح، زیرمجموعه‌ای از اعداد گویا است.

قرینه اعداد گویا

پس از آشنایی با مفهوم اعداد گویا و بررسی ارتباط میان مجموعه‌های عددی، به بحث درباره ویژگی‌های دیگر اعداد گویا می‌پردازیم. مفهوم قرینه در اعداد گویا مشابه با قرینه سایر اعداد است که در مباحث مربوط به جمع و تفریق اعداد صحیح به طور دقیق توضیح داده شده است. برای به دست آوردن قرینه یک عدد گویا، تنها کافی است علامت آن را تغییر دهید. به عنوان مثال، قرینه عدد صفر خود صفر باقی می‌ماند.

سوالات متداول

آیا هر عدد صحیح یک عدد گویا است؟

پاسخ: بله، هر عدد صحیح یک عدد گویا است. زیرا هر عدد صحیح $n$ را می‌توان به صورت کسر $\frac{n}{1}$ نوشت که در آن n=p و q=1 $$$$ و $q$ نابرابر با صفر است.

آیا اعداد اعشاری همه اعداد گویا هستند؟

پاسخ: نه، همه اعداد اعشاری عدد گویا نیستند. اعداد اعشاری که دارای تکرار منظم (مثل 0.333...) یا پایانی (مثل 0.75) هستند، اعداد گویا هستند. اما اعداد اعشاری که به صورت غیرمنظم و غیرقابل پیش‌بینی ادامه پیدا کنند، مانند $\pi$ یا $\sqrt{2}$

آیا مجموعه اعداد گویا مجموعه‌ای شمارا است؟

پاسخ: بله، مجموعه اعداد گویا شمارا است. این به این معناست که می‌توان اعداد گویا را به ترتیب و به صورت دنباله‌ای شمارا لیست کرد، به طوری که هر عدد گویا را بتوان در یک نقطه معین از این دنباله پیدا کرد. این ویژگی به دلیل این است که اعداد گویا می‌توانند به راحتی در یک شبکه دوبعدی از اعداد صحیح قرار گیرند و شمارش شوند.

آیا حاصل‌ضرب دو عدد گویا همیشه یک عدد گویا است؟

پاسخ: بله، حاصل‌ضرب دو عدد گویا همیشه یک عدد گویا است. اگر دو عدد گویا $\frac{a}{b}$ و $\frac{c}{d}$ داشته باشیم، حاصل‌ضرب آن‌ها به صورت $\frac{a \times c}{b \times d}$ خواهد بود که همچنان به صورت کسر از دو عدد صحیح است و بنابراین عدد گویا است.

آیا اعداد گویا مجموعه‌ای متراکم هستند؟

پاسخ: بله، اعداد گویا در مجموعه عددی متراکم هستند. به این معنا که بین هر دو عدد گویا، تعداد بی‌پایانی از اعداد گویا وجود دارد. برای هر دو عدد گویا $\frac{a}{b}$ و $\frac{c}{d}$ با فرض $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$، می‌توان عدد گویای جدیدی $\frac{a+c}{b+d}$ پیدا کرد که بین آن‌ها قرار دارد.

شاید برای شما مفید باشد:

حل معادله کسری 

روش های تست زنی

آموزش معادله خطی ریاضی نهم

فرمول های ریاضی نهم تیزهوشان در یک نگاه